La "aplicación biyectiva" ¿qué será? Si bien la teoría de conjuntos se estudia incluso en la escuela primaria, desde que los matemáticos vieron en ella la posibilidad anhelada de unificar su ciencia bajo un criterio único, los propósitos didácticos no se lograron al menos al nivel inicial porque no se pasó de las ideas preliminares y no se apuntó a la unidad del saber matemático, que aparecía como un logro extraordinario del genio no menos extraordinario de Georg Cantor.

Cuando sabemos a ciencia cierta que se trata de un concepto matemático, la tendencia es dejar todo el asunto en manos de los matemáticos, esos personajes extraños de los que casi nadie conoce un ejemplar vivo, que son en realidad poetas de máximo nivel, creadores de entes imaginarios a los que curiosamente obligan a cumplir reglas lógicas estrictas.

Pero en las manos de los matemáticos hay dedos, como en la de cualquiera de nosotros. Y si a cualquiera de nosotros se nos ocurriera la broma de decir que todo lo que sabemos es contar con los dedos, la respuesta debería ser "¡Ahí está! Esa es la aplicación biyectiva".

Los números naturales, como 1, 2, 3, 4..., parecen ser las cosas más claras y evidentes, sencillas y elementales que existen. Por eso sorprende que Cantor, el gran matemático ruso que murió en un asilo de Alemania en 1917, abandonado y solo, haya sostenido que la idea más original, más profundamente grabada en nosotros, no son los números sino las correspondencias entre conjuntos, que son entes que no se definen.

Cantor no cesó de crear, al punto de ser considerado la mente más profunda de los últimos 2500 años ni cuando estuvo encerrado en el manicomio, víctima de lo que hoy llamamos "trastorno bipolar".

Sus amigos, que en realidad lo abandonaron, sintieron la necesidad de reconocerlo cuando el significado de su obra se abrió paso. Instalaron un busto suyo en la entrada de la universidad alemana de Halle, donde dio clases durante décadas. Pero los nazis retiraron el busto alegando que la teoría de conjuntos infinitos era "matemática judía".

La teoría del cálculo "digital"
Incluso gentes que no conocen nada del tema usan sin saber la aplicación biyectiva. No se trata entonces de algo para que lo mastiquen los matemáticos sino que nos atañe a todos. Quien cuenta con los dedos no se cuenta los dedos, ya sabe que son 10. Los dedos solo le sirven para "llevar la cuenta" bien a la vista, al resguardo de errores.

Cuando "baja" un dedo dando por contada una unidad, piensa en lo que está contando "en mente", por ejemplo las personas que piensa invitar a la reunión del fin de semana.

Lo que está haciendo es poniendo en relación "biyectiva" o "biunívoca" cada dedo con cada persona o lo que sea que pretenda contar con los dedos. Esa relación es más primitiva, está más en lo profundo de cada uno, que el mismo concepto de número, que es más abstracto y no tan "natural".


Cuando el doble no es doble
Supongamos el conjunto de los números naturales: 1, 2, 3, 4, etc, con un etcétera largo, porque es infinito. Dentro de este conjunto está el de los números pares: 2, 4, 6, 8, etc. Cualquiera podría decir, ya que el conjunto de los números naturales comprende los pares e impares, que los pares son "menos" que los números naturales.

Aunque parezca mentira, no es así. Podemos hacer corresponder a cada número natural un número par. A 1 le hacemos corresponder 2, a 2 le hacemos corresponder 4, a 3 le corresponde seis, y así a cada uno su doble. Tendremos de una parte los naturales y de otra los pares, a cada natural le corresponde un par, ni más ni menos. Los pares no son menos que los naturales.

Esto es una paradoja va contra la intuición y que parece ir contra la razón porque cuando se trata de pensar cosas infinitas, la lógica habitual falla y nos descarrila.

A este resultado elemental pero sorprendente hemos llegado mediante la "aplicación biyectiva" mera extensión de la práctica de contar con los dedos.

Evolución o sacralidad
El eurocentrismo pretende que las ideas matemáticas nacieron en Grecia; pero tan pronto los estudios se diversificaron y ampliaron quedó en claro que nunca la humanidad careció de matemáticas, como nunca careció de lenguaje ni de organización social.

Las conjeturas basadas en la doctrina del progreso llevaban a pensar en estructuras cada vez más rudimentarias a medida que retrocedíamos en el tiempo. Pero por más que retrocedamos, nunca encontramos la bestia que profiere sonidos guturales. Hace 40.000 años en África había instrumentos para calcular logaritmos y en lugar de la "horda primitiva" que presumíamos la investigación reveló organizaciones sabias fundadas en la cooperación y respetuosas de la individualidad, mucho menos convulsivas que nuestra sociedad, que está muy lejos de ser la mejor.

Incluso los que conjeturan una etapa hipotética, jamás probada, en que no hubiera lenguaje articulado, pretenden que los subhombres de entonces podrían observar en la naturaleza fenómenos cuantitativos tales como la diferencia entre un árbol y un bosque, una piedra y un montón de piedras, un lobo y una manada de lobos.

Ya estaba presente allí la idea de "correspondencia biunívoca" o aplicación biyectiva, que permite comparar dos conjuntos aunque sean de naturaleza muy diferente, como lo son los dedos del pastor y las ovejas que cuenta. El pastor podría contar hasta 10 ovejas con los dedos, apartar el grupo y luego repetir el procedimiento con otros grupos, hasta 10. Tendría contadas así 100 ovejas. Reiterando el procedimiento con grupos de 100 tendría contadas 1000 , etc.

Los dedos se pueden sustituir por piedritas. Justamente la palabra "cálculo" que en las matemáticas actuales se refiere ante todo al análisis infinitesimal, se originó en esas piedritas para contar, porque "calculus" significa "piedra".

De una parte habría entonces montoncitos de piedras, o muescas trazadas sobre huesos de animales y de otra aquello que se pretendía contar con ese procedimiento. Cuando fue posible retener el elemento cuantitativo aun sin la presencia de las piedras, se produjo la abstracción que dio origen al número cardinal, la cantidad pura.

Es como si finalmente hubiéramos aprendido a contar con los dedos pero sin dedos, o con dedos imaginarios que finalmente desaparecieron para dejar lugar solo a una idea aplicable a toda índole de objetos.

Sin embargo, esta idea "práctica" del origen de las matemáticas choca con otra evidencia: Por mucho que retrocedamos, nunca los números expresan cantidades puras. Más bien el proceso es a la inversa: a medida que nos acercamos a los tiempos actuales los números se descualifican progresivamente hasta convertirse en meros signos cuantitativos sin contenido propio.

Los "primitivos" encerraban en los números cualidades, sean mágicas o sagradas, simbólicas o supersticiosas, pero nunca aparecen como entidades de pura razón descualificadas.
De la Redacción de AIM.